Karta do nauki · Wzory, własności, twierdzenia
Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny w stałej odległości (promień r) od środka O.
Zbiór wszystkich punktów płaszczyzny w odległości nie większej niż r od środka. Koło = wnętrze + okrąg.
Odcinek łączący środek okręgu z dowolnym jego punktem.
Cięciwa przechodząca przez środek. d = 2r. Najdłuższa cięciwa okręgu.
Odcinek łączący dwa punkty okręgu (niekoniecznie przez środek).
Część okręgu między dwoma jego punktami. Łuk mniejszy i większy.
Obszar ograniczony dwoma promieniami i łukiem między nimi. Jak kawałek pizzy 🍕
Obszar między dwoma okręgami współśrodkowymi o promieniach R i r (R > r).
Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu. Odpowiada łukowi.
Prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem.
d > r
d – odległość środka od prostej
Prosta ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem (punkt styczności).
d = r
Prosta ma dwa punkty wspólne z okręgiem.
d < r
Styczna do okręgu w danym punkcie jest prostopadła do promienia poprowadzonego do tego punktu.
styczna ⊥ promień
Z dowolnego punktu P leżącego na zewnątrz okręgu można poprowadzić dokładnie dwie styczne do okręgu.
|PA| = |PB|
Odcinki styczne z zewnętrznego punktu są równe.
Jeśli punkt P leży w odległości d od środka, a promień okręgu to r:
|PA|² = d² − r²
Wynika z tw. Pitagorasa (trójkąt OPA).
| Położenie | Warunek (d = odl. środków) | Punkty wspólne |
|---|---|---|
| Zewnętrzne rozłączne | d > R + r |
brak |
| Zewnętrznie styczne | d = R + r |
1 (między środkami) |
| Sieczne | |R − r| < d < R + r |
2 |
| Wewnętrznie styczne | d = |R − r| |
1 (jeden wewnątrz drugiego) |
| Wewnętrznie rozłączne | d < |R − r| |
brak (jeden w środku) |
| Współśrodkowe | d = 0, R ≠ r |
brak (pierścień) |
Kąt środkowy jest równy mierze łuku, który go wyznacza (w stopniach).
Kąt wpisany jest o połowę mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym. (Twierdzenie Talesa)
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
Okrąg wpisany w trójkąt jest styczny do wszystkich trzech boków. Jego środek to punkt przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.
Okrąg opisany na trójkącie przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki. Jego środek to punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta.
Okrąg ma nieskończenie wiele osi symetrii — każda prosta przechodząca przez środek jest osią symetrii.
Symetralna każdej cięciwy okręgu przechodzi przez środek tego okręgu.
Cięciwy równej długości są równo odległe od środka. I odwrotnie: jednakowa odległość od środka → równe cięciwy.
Suma kątów środkowych odpowiadających całemu okręgowi wynosi 360°.
| Wielkość | Wzór | Jednostka (przykład) |
|---|---|---|
| Obwód okręgu | C = 2πr = πd |
cm, m |
| Pole koła | P = πr² |
cm², m² |
| Długość łuku | l = (α/360°) · 2πr |
cm, m |
| Pole wycinka koła | P = (α/360°) · πr² |
cm², m² |
| Pole pierścienia | P = π(R² − r²) |
cm², m² |
| Kąt wpisany | β = ½ · α (α – środkowy) |
° |
| Długość stycznej z pkt P* | |PA|² = d² − r² |
cm, m |
* pozycja oznaczona * pochodzi z tematu stycznej do okręgu (poza aktualną PP kl. 8)